Inhaltsverzeichnis
1 Ziel des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Der Kendall-Tau-Korrelationskoeffizient prüft zwei Variablen auf einen ungerichteten Zusammenhang. Er funktioniert für zwei ordinale, zwei metrische Variablen oder eine Mischung beider. Er zeigt entweder einen positiven Zusammenhang, einen negativen Zusammenhang oder keinen Zusammenhang. Die Nullhypothese von Kendall-Tau geht von keinem Zusammenhang aus.
2 Voraussetzungen des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten in SPSS
- zwei ordinal skalierte Variablen, zwei metrisch skalierte Variablen oder eine metrisch skalierte und eine ordinal skalierte Variable – im Beispiel unten verwende ich eine metrische und eine ordinal skalierte Variable
- Häufig genannt: Linearität – gerade das untersucht man mit der Korrelation nach Kendall-Tau aber ohnehin
Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt und ihr wollt dennoch korrelieren, schaut im Beitrag zur richtigen Wahl des Korrelationskoeffizienten nach Alternativen.
3 Durchführung der Korrelation nach Kendall-Tau in SPSS
3.1 Voraussetzungsprüfung für den Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Normalerweise sind ordinal skalierte Variablen solche, die zwar auf- oder absteigend sortiert werden können, allerdings sind die Abstände zwischen den Ausprägungen entweder nicht gleich oder interpretierbar oder beides. Fragen nach der Zustimmung zu einer Aussage oder Zufriedenheit mit einem Produkt oder Einkommensklassen (“Likert-Skala”) erfüllen dieses Kriterium. Fasst man allerdings mehrere solche Variablen (z.B. via Mittelwert) zusammen, bildet also einen Score, werden sie häufig als quasi-metrisch eingestuft, was eine Korrelation nach Pearson ermöglicht. Als Alternative zu Kendall-Tau kann auch der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman in SPSSgerechnet werden.
3.2 Grafische Darstellung des Zusammenhanges in SPSS
Parallel zu jeder Korrelation nach Kendall-Tau kann eine kleine Visualisierung des Zusammenhanges mittels Streudiagramm erfolgen. Hierzu geht man über “Grafik” -> “Diagrammerstellung” und wählt unter Streudiagramm die beiden Variablen aus. Welche Variable an welche Achse kommt, ist hierbei nachrangig. Im Ergebnis erhält man folgendes Diagramm:
Erkennbar ist, dass mit zunehmender Motivation auch das Einkommen steigt. Ein positiver Zusammenhang ist also naheliegend. Wie stark ist dieser allerdings? Dazu braucht es den Kendall-Tau-Rangkorrelationskoeffizient.
4 Kendall-Tau-b oder Kendal-Tau-c?
Prinzipiell gibt es drei Kendall-Tau-Varianten. Kendall-Tau-a, Kendall-Tau-b und Kendall-Tau-c. Die Variante Kendall-tau-a macht keine Anpassung für mehrfach vorkommende Ränge – das kommt in der Realität zugegebenermaßen eher selten vor. Kendall-tau-bhingegen macht diese Anpassung. Kendall-tau-cist hingegen noch etwas besser geeignet als Kendall-tau-b, wenn die beiden zu korrelierenden Variablen nicht die gleiche Anzahl an Ausprägungen haben. Haben sie dies, ist Kendall-tau-b zu wählen. Da in SPSS allerdings standardmäßig Kendall-tau-b berechnet wird und die Unterschiede zwischen der Variante b und c nicht sehr groß sind, ist dies vor allem eine theoretische Diskussion.
Meine persönliche Einschätzung: Im Zweifel macht man mit Variante c wohl weniger falsch. Ich zeige nachfolgend beide Möglichkeiten, weil v.a. Kendall-tau-c nicht über das typische Dialogfeld zu finden ist.
Zusammengefasst ist folgendes zu wählen:
Kendall-tau-c: Beide Variablen haben nicht die gleiche Anzahl an Ausprägungen und Ränge kommen mehrfach vor.
Kendall-tau-b: Mehrfach vorkommende Ränge und gleiche Anzahl an Ausprägungen der beiden Variablen.
Kendall-tau-a (nicht in SPSS vorhanden): Einfach vorkommende Ränge und gleiche Anzahl an Ausprägungen der beiden Variablen.
5 Berechnung der Korrelation nach Kendall-Tau-b in SPSS
Im Menü unter “Analysieren” -> “Korrelation” -> “Bivariat“.
Danach erhält man das typische Dialogfeld zur Korrelation. Hier sind wie gewohnt die zu korrelierenden Variablen nach rechts in das Feld “Variablen” zu verschieben. Anschließend ist unter Korrelationskoeffizienten der im Bild rot eingerahmteKendall-Tau-b auszuwählen und mit einem Klick auf OK zu bestätigen.
Als Ergebnis bekommt man folgende Korrelationstabelle:
Hier ist erkennbar, dass Motivation und Einkommen positiv mit 0,355 korrelieren und die Signifikanz dessen 0,001 beträgt.
Die Nullhypothese (kein Zusammenhang) kann bei der Festsetzung der Alphaverwerfungsgrenze auf typische 0,05 bei der Signifikanz von 0,001 verworfen werden. Demzufolge ist die Alternativhypothese eines Zusammenhanges zwischen Motivation und Einkommen anzunehmen. Der Wert beträgt 0,388 und wird weiter unten hinsichtlich der Effektstärke eingeordnet.
6 Berechnung der Korrelation nach Kendall-Tau-c in SPSS
Zu Kendall-tau-c kommt man über “Analysieren” -> “Deskriptive Statistiken” -> “Kreuztabellen“.
Als nächstes werden die beiden Variablen in Zeilen und Spalten eingefügt. Es ist eine symmetrische Betrachtung und daher egal, welche Variable wo zugeordnet wird. Ich lasse mir keine Kreuztabelle ausgeben (Haken bei “Keine Tabellen“). Wenn ihr allerdings eine Kreuztabelle mit den Häufigkeiten der Merkmalskombinationen erhalten möchtet, empfiehlt es sich die Variable mit der größeren Anzahl an Ausprägungen in die “Zeilen” zu packen.
Als nächstes klickt ihr auf Statistiken und wählt entsprechend Kendall-tau-c aus. Aus Gründen der Vollständigkeit und zum Vergleich lasse ich mir auch Kendall-tau-b noch mit ausgeben.
Der Korrelationskoeffizient für Kendall-tau-c wird unter Kendall-tau-b angezeigt und beträgt 0,353 mit einer näherungsweisen Signifikanz von 0,000. Allerdings ist das nur gerundet und man sollte in einem solchen Fall p<0,001 schreiben. Betragsmäßig ist dieses Ergebnis kaum verschieden von 0,355 bei Kendall-tau-b, was wir oben bereits erhalten hatten.
Achtung: Wenn bereits eine Wirkungsvermutung vor dem Test existiert – die plausible Annahme, dass Menschen mit höherer Motivation ein höheres Einkommen erzielen – dann würde man 1-seitig testen. Hierzu darf die Signifikanz halbiert werden und ebenfalls mit dem Niveau von 0,05 verglichen werden. In diesem Falle ändert sich entsprechend nichts an der Aussage der Verwerfung der Nullhypothese.
7 Ermittlung der Effektstärke des Kendall-Tau-Korrelationskoeffizienten
Die Effektstärke ist im Rahmen der Korrelation der Korrelationskoeffizient r selbst. Laut Cohen:Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (1988), S. 79-81 sind die Effektgrenzen:
- 0,1-0,3 (schwach),
- 0,3-0,5 (mittel) und
- größer 0,5 (stark).
Im vorliegenden Beispiel ist die Effektstärke mit 0,355 bzw. 0,353 > 0,3 und damit gerade noch mittel. Es handelt sich also um eine mittlere Korrelation zwischen Einkommen und Motivation.
